有限数学示例

$x + 2 y = 4$ , $2 x + 6 y = 5$

解题步骤 1

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 6 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}]$

解题步骤 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 6 \end{array}]$ .

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解题步骤 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 6 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 6 \end{array} |$

解题步骤 2.2

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 6 - 2 \cdot 2$

解题步骤 2.3

化简行列式。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 - 2 \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$6 - 4$

解题步骤 2.3.2

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$2$

$D = 2$

解题步骤 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

解题步骤 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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解题步骤 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 5 & 6 \end{array} |$

解题步骤 4.2

Find the determinant.

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解题步骤 4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$4 \cdot 6 - 5 \cdot 2$

解题步骤 4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$24 - 5 \cdot 2$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$24 - 10$

解题步骤 4.2.2.2

从 $24$ 中减去 $10$ 。

$14$

$D_{x} = 14$

解题步骤 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 4.4

Substitute $2$ for $D$ and $14$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{14}{2}$

解题步骤 4.5

用 $14$ 除以 $2$ 。

$x = 7$

解题步骤 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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解题步骤 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} |$

解题步骤 5.2

Find the determinant.

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解题步骤 5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 \cdot 5 - 2 \cdot 4$

解题步骤 5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 - 2 \cdot 4$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$5 - 8$

解题步骤 5.2.2.2

从 $5$ 中减去 $8$ 。

$- 3$

$D_{y} = - 3$

解题步骤 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 5.4

Substitute $2$ for $D$ and $- 3$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 5.5

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{3}{2}$

解题步骤 6

列出方程组的解。

$x = 7$

$y = - \frac{3}{2}$

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